restart; /* question 1 */ /* cas 1 */ phi1(x,y):=(Fsurpie/(2*R))*(x^2+y^2); /* vérification de la biharmonicité : évidente */ /* calcul des contraintes */ sxx1(x,y):=ratsimp(diff(diff(phi1(x,y),y),y)); sxx1(x,y); syy1(x,y):=ratsimp(diff(diff(phi1(x,y),x),x)); syy1(x,y); sxy1(x,y):=ratsimp(-diff(diff(phi1(x,y),x),y)); sxy1(x,y); /* calcul des contraintes sur le bord */ /* tenseur identique dans la base (r,theta), donc sur le bord */ srr1R(x,y)=Fsurpie/R; srtheta1R(x,y)=0; /* question 2 */ /* cas 2 */ phi2(x,y):=-Fsurpie*x*atan(x/(R-y)); /* vérification de la biharmonicité */ d1(x,y):=ratsimp(diff(phi2(x,y),x)); d1(x,y); d2(x,y):=ratsimp(diff(d1(x,y),x)); d2(x,y); d3(x,y):=ratsimp(diff(phi2(x,y),y)); d3(x,y); d4(x,y):=ratsimp(diff(d3(x,y),y)); d4(x,y); lap(x,y):=ratsimp(d2(x,y)+d4(x,y)); lap(x,y); d5(x,y):=ratsimp(diff(lap(x,y),x)); d5(x,y); d6(x,y):=ratsimp(diff(d5(x,y),x)); d6(x,y); d7(x,y):=ratsimp(diff(lap(x,y),y)); d7(x,y); d8(x,y):=ratsimp(diff(d7(x,y),y)); d8(x,y); laplap(x,y):=ratsimp(d6(x,y)+d8(x,y)); laplap(x,y); my_preamble: "set pm3d at s;unset surface;set contour;\set cntrparam levels 20;unset key"; plot3d (laplap(x,y), [x, 0, 0.9], [y, 0,0.9], [grid, 50, 50], [gnuplot_pm3d, true],[gnuplot_preamble, my_preamble]); /* calcul des contraintes */ sxx2(x,y):=d4(x,y); sxx2(x,y); syy2(x,y):=d2(x,y); syy2(x,y); sxy2(x,y):=ratsimp(-diff(d1(x,y),y)); sxy2(x,y); /* question 3 */ /* cas 3 */ /* calcul des contraintes */ sxx3(x,y):=ratsimp(subst(-x,x,subst(-y,y,sxx2(x,y)))); sxx3(x,y); syy3(x,y):=ratsimp(subst(-x,x,subst(-y,y,syy2(x,y)))); syy3(x,y); sxy3(x,y):=ratsimp(subst(-x,x,subst(-y,y,sxy2(x,y)))); sxy3(x,y); /* assemblage */ sxx(x,y):=sxx1(x,y)+sxx2(x,y)+sxx3(x,y); sxx(x,y); syy(x,y):=syy1(x,y)+syy2(x,y)+syy3(x,y); syy(x,y); sxy(x,y):=sxy1(x,y)+sxy2(x,y)+sxy3(x,y); sxy(x,y); /* question 4 */ /* pour le bord, x=R*cos(theta), y=R*sin(theta) */ sxxR(x,y):=ratsimp(subst(R*cos(theta),x,subst(R*sin(theta),y,sxx(x,y)))); sxxR(x,y); syyR(x,y):=ratsimp(subst(R*cos(theta),x,subst(R*sin(theta),y,syy(x,y)))); syyR(x,y); sxyR(x,y):=ratsimp(subst(R*cos(theta),x,subst(R*sin(theta),y,sxy(x,y)))); sxyR(x,y); /* calcul de T(P,er) dans la base (ex,ey)*/ tperx(theta):=ratsimp(sxxR(x,y)*cos(theta)+sxyR(x,y)*sin(theta)); tperx(theta); tpery(theta):=ratsimp(sxyR(x,y)*cos(theta)+syyR(x,y)*sin(theta)); tpery(theta); /* composante suivant er */ tperr(theta):=ratsimp(tperx(theta)*cos(theta)+tpery(theta)*sin(theta)); tperr(theta); courb1(theta):=subst(1,Fsurpie,subst(1,R,tperr(theta))); plot2d (courb1(theta), [theta, 0, %pi/2]); /* elle est bien nulle */ /* composante suivant etheta */ tpert(theta):=ratsimp(tperx(theta)*(-sin(theta))+tpery(theta)*cos(theta)); tpert(theta); courb2(theta):=subst(1,Fsurpie,subst(1,R,tpert(theta))); plot2d (courb2(theta), [theta, 0, %pi/2]); /* elle est bien nulle */ /* question 5 */ /* sur l'axe x=0, le tenseur des contraintes s'écrit */ sxxx0(y):=subst(0,x,sxx(x,y)); sxxx0(y); /* c'est une constante */ syyx0(y):=subst(0,x,syy(x,y)); syyx0(y); sxyx0(y):=subst(0,x,sxy(x,y)); sxyx0(y); courb3(y):=subst(1,Fsurpie,subst(1,R,syyx0(y))); plot2d (courb3(y), [y, 0, 0.99]); /* elle est maximale à l'approche des points de mise en charge */ /* question 6 */ /* sur l'axe y=0, le tenseur des contraintes s'écrit */ /* pour la contrainte sigmaxx */ sxxy0(x):=subst(0,y,sxx(x,y)); sxxy0(x); courb4(x):=subst(1,Fsurpie,subst(1,R,sxxy0(x))); plot2d (courb4(x), [x, 0, 1]); /* courbe en cloche, traction au milieu et nullité sur le bord : tout va bien */ /* pour la contrainte sigmayy */ syyy0(x):=subst(0,y,syy(x,y)); syyy0(x); courb5(x):=subst(1,Fsurpie,subst(1,R,syyy0(x))); plot2d (courb5(x), [x, 0, 1]); /* courbe en cloche, compression maximale au milieu et nullité sur le bord : on est loin de la solution de théorie des poutres qui aurait donné syyy0(x)=-F/(2*e*R), soit courb5(x)=-%pi/2=-1,57 */ /* pour la contrainte sigmaxy */ sxyy0(x):=subst(0,y,sxy(x,y)); sxyy0(x); /* pas de cisaillement : c'est normal c'est un axe de symétrie, donc ex et ey sont axes principaux du tenseur des contraintes */ /* question 7 */ /* la contrainte syy tend vers l'infini alors que la contrainte sxx est constante et la contrainte szz est nulle : la sollicitation n'étant pas sphérique, la limite d'élasticité est dépassée et la structure se plastifie si le matériau est ductile */ /* question 8 */ pres=40000/(0.004*0.01);